Sobre los números primos...

... esos que son tan usados en Criptografía.

Adrián Paenza nos cuenta de qué se tratan.

¿Y cómo sigo?

Este blog fue creado en el 2007 por dos docentes, una de matemática y otra de comunicación. El objetivo inicial del mismo fue comunicar la matemática desde otra perspectiva, desde el juego, las investigaciones, los videos, artículos de diario. El mismo pretendía contar la matemática desde una visión más amplia, que todos los lectores supieran que se sigue trabajando e investigando en esta área del conocimiento y que matemática no es solamente “2+2=4”.
Luego, el mismo fue continuado solamente por la docente de matemática (quien escribe) y aprovechado para mostrar, además de artículos y enlaces de interés, las actividades de un taller de matemática que fue realizado durante un cuatrimestre con alumn@s de escuela media (entre 15 y 17 años). Ese taller llegó a su fin (fue dictado en el 2009) y los alumn@s tuvieron la posibilidad de leer sus trabajos y compartir las actividades con otros compañeros, familias y docentes de la institución.
Hoy, el blog está “mutando” y persigue que, además de colegas, puedan participar alumn@s a través de le lectura y de los comentarios. El mismo está “linkeado” desde el sitio https://sites.google.com/site/apuntesdematematicacb/ que utilizo para compartir los programas, trabajos prácticos, libros, videos, noticias de la matemática con alumnos de un colegio de nivel medio en el cual soy docente del ciclo superior (3er. Año, 4to. Año y 5to. Año).
Entiendo que la incorporación de twitter podría enriquecer más aun mi trabajo si anexara al blog o al sitio un listado de los tweets a través de http://www.tweetdoc.org/. Esta herramienta me permite organizar la participación de los alumn@s y que, tanto ell@s como yo, podamos seguir en forma anidada los tweets.
Además, y aunque no es específico del curso web2.0, estoy evaluando la incorporación de actividades con http://docs.google.com para poder realizar actividades en grupo y que los alumn@s participen de manera colaborativa.
Ahora sólo me resta volver del receso y hacer la propuesta… ¡veremos qué ocurre!

Repensando mis clases...

Hace unos años tuve que armar la siguiente presentación como trabajo final de un curso online. La comparto:

Crecimiento y Decrecimiento de funciones escalares

View more presentations from rosaescayola

Y siempre me quedé pensando en si "esto es innovar". ¡Qué buena pregunta!
Puedo asegurarles que no conozco la respuesta. Sí puedo contarles que cada vez que trabajo este tema con mis alumn@s de 5to. año, aprendemos tod@s: ¡ell@s y yo! Se genera un debate muy rico sobre el análisis de las distintas definiciones, abrimos graficadores para probar distintos ejemplos, surgen relaciones entre los conceptos, retomamos definiciones anteriores, y resulta muy enriquecedor la interacción que se produce entre el contenido-l@s alumnos-la computadora-el docente.

Puedo compartir con Ustedes la siguiente imagen que seguro habrán visto alguna vez:



Y es esta imagen la que me hace repensar la manera en que trabajo en el aula. Y, al mismo tiempo, creo que estoy empezando a recorrer un camino muy interesante: un camino en el que intento, repito, intento, que mis alumn@s utilicen diferentes recursos para apropiarse del contenido y reelaborarlo.
¿Lo estaré logrando?

Buscando caminos alternativos...

Siempre les cuento a mis alumn@s que quiero transmitirles mi amor por la matemática,por su belleza, por la manera que organiza las cosas, como modeliza situaciones, como me permite resolver problemas nuevos. Y, en ese camino, me pregunto si yo enseño de esa manera, tratando de que exploren, descubran, ensayen, creen, se pregunten....

Les dejo una charla interesante que nos hace repensar nuestra tarea como educadores de la Matemática... por lo menos a mí, ¡me gusta así!

Sobre cómo nos comunicamos....

A propósito sobre cómo nos comunicamos hoy en día, sea de matemática o de otra disciplina, les recomiendo la lectura de este artículo http://www.lavanguardia.com/internet/20110623/54174964635/jose-luis-orihuela-los-trending-topics-se-han-convertido-en-una-agenda-social.html de José Luis Orihuela.

Me quedo con algunas frases....

- "Twitter es el sistema nervioso central de la sociedad conectada"

- "defino a Twitter como un ´sacapuntas del pensamiento´. Te exige afinar tu pensamiento, utilizar bien el lenguaje para sacar el máximo partido a ese espacio reducido"

- "Me gustaría ver avances en la línea de redes abiertas (Open Sources) interoperativas que permitieran a los usuarios recuperar el control sobre sus datos para descargarlos localmente o para transportarlos entre redes, cosa que ahora mismo no existe"

¡Qué lo disfruten!

Matemágica

Por Adrián Paenza

Una rama de la matemática recreativa que ha tenido un desarrollo imponente en los últimos años es la que se llama Matemágica. Justamente, el uso de la aritmética, la geometría, la combinatoria, el álgebra y la topología –entre otras– compone una fuente increíble de recursos para hacer magia. Sí, magia. La misma magia que por más de veinte siglos ha mantenido y mantiene a las personas como usted y como yo preguntándose: ¿cómo hizo?

La idea es sorprender, atentar contra la intuición, desafiar la lógica y hasta llegar a adjudicarle al interlocutor –el mago– recursos sobrenaturales. El desarrollo ha sido espectacular, sobre todo en la última década, y por eso ahora hay congresos y convenciones en distintas partes del globo, en donde magos y matemáticos se empeñan en crear una nueva generación de “matemágicos” y seducir en el trayecto a una buena parte de la población que ve a la matemática como insensible, árida y poco práctica.

En las contratapas de Página/12 del 29 de abril y el 8 de julio de 2008 aparecieron dos problemas que apuntan en esa dirección: la de promover la matemágica. Aquí va un tercero.[1]

Hay un mago que tiene en las manos un mazo de cartas españolas, como las que sirven para jugar a la escoba de 15 o al truco. Por lo tanto, están excluidos los números 8 y los números 9. De hecho, el número 12 (el rey) vale 10 puntos, el número 11 (el caballo) vale 9 puntos y el número 10 (la sota) vale 8 puntos.

El resto de las cartas tienen el valor que indica su número. Por último, para fijar las ideas, los cuatro palos de las cartas son: oros, espadas, copas y bastos. En total, son cuarenta cartas.

El mago entonces le ofrece a una persona que elija un naipe cualquiera, sin que él (el mago) pueda verla. Y le pide que haga las siguientes operaciones:

a) Multiplique por 2 el número de la carta.

b) Al resultado, súmele 1.

c) Al nuevo resultado, multiplíquelo por 5.

d) Para terminar, si la carta que había elegido es de oros, súmele 4. Si es de espadas, súmele 3. Si es de bastos, súmele 2, y si es de copas, súmele 1.

Con esos datos, el mago le pide a la persona que le diga qué número le dio.

La respuesta que obtiene es: 39.

El mago piensa un instante y replica: “Entonces, la carta que usted eligió originalmente era el 3 de oros”.

¿Cómo hizo?

El proceso es muy sencillo. Sólo se trata de pensar una estrategia que permita encontrar la carta seleccionada del mazo y asignarle un número. Claro: el mago tiene que saber qué número le corresponde a cada naipe. Ahora, le toca a usted hacer de mago.

Respuesta

Antes de pensar juntos la solución, veamos que si esta persona había elegido el 3 de oros, el resultado de hacer todas las operaciones lo llevó al número 39.

a) Al multiplicarlo por 2, obtiene el número 6.

b) Al sumarle 1, obtiene el número 7.

c) Al multiplicarlo por 5, obtiene el 35.

Como eligió el 3 de oros, y a las cartas de oros debía sumarles 4, entonces, (35 + 4) = 39. O sea, efectivamente, si hubiera elegido el 3 de oros, el resultado debió ser 39.

¿Cómo hizo el mago para poder deducirlo al revés? Es decir, conociendo el número 39, ¿cómo hizo para volver para atrás?

Acompáñeme en esta reflexión. Usted es el mago y yo soy la persona que eligió la carta, digamos con el número X (que usted todavía no conoce). Pero fíjese qué pasó con las operaciones que usted me pidió que hiciera (con ese número X).

a) Lo multipliqué por 2. Obtuve entonces (2.X).

b) Le sumé 1. Tenía entonces (2.X + 1).

c) Después lo multipliqué por 5 y obtuve

(2.X +1).5 = 10.X + 5, (*)

que es un número múltiplo de 5.

¿Qué pasa cuando le sumo el número para indicar el “palo” que tenía la X? Transformo el resultado en:

1) Un múltiplo de 5 más 4, si la carta X era de oros.

2) Un múltiplo de 5 más 3, si la carta X era de espadas.

3) Un múltiplo de 5 más 2, si la carta X era de bastos.

4) Un múltiplo de 5 más 1, si la carta X era de copas.

Ahora volvamos al número que yo le dije, 39. Como usted advierte,

39 = 35 + 4.

Por lo tanto es un múltiplo de 5 más 4. Luego, usted acaba de descubrir que la carta X que yo elegí es de oros. No sabe todavía cuál es el valor de X, pero sí sabe que es de oros.

Ahora bien, al restarle los 4 que corresponden al palo, ahora usted tiene el número 35. Por lo tanto, si usted se fija en (*), sabe que en este caso:

10.X + 5 = 35 (**)

Luego, se trata de calcular el valor de X en la igualdad (**).

En consecuencia,

10.X = 35 5 = 30, lo que quiere decir, que X = 30/10 = 3.

X = 3

Moraleja: la carta que yo había elegido fue el 3 de oro.

¿Se anima ahora a calcular conmigo qué carta elegí yo si el resultado de las operaciones fue 86?

Piénselo usted por su cuenta y, si quiere, confronte acá abajo lo que le dio.

Primero hay que ver de qué palo es la carta. Para eso, hay que ver que 86 se escribe como 85 (múltiplo de 5) + 1. Esto dice que la carta es de copas.

Una vez que uno tiene el número 85, ahora todo lo que queda por hacer es “despejar” la letra X en la igualdad:

10.X + 5 = 85

10.X = 85 5 = 80, por lo que X = 80/10 = 8.

En consecuencia, la carta elegida fue la sota de copas (ya que la sota, con la convención que habíamos hecho, vale 8 puntos).[2]

[1] El problema me lo sugirió Laura Pe-zzatti, Lic. en Matemática por la UBA y coautora de los contenidos de los programas Alterados por Pi, que se emiten en el Canal Encuentro que depende del Ministerio de Educación de la Nación. A ella le corresponde el crédito de este artículo entonces.

[2] Como se ve, la matemática que se usa es sencilla: sumas, restas, productos, divisiones. Pero también hay un dato no menor que es indispensable para llegar a la solución: cualquier número entero positivo tiene un “único” resto al dividirlo por cinco. Algunos ejemplos: el número 72, al dividirlo por 5, resulta tener resto igual a 2. Es que 72 = 5 x 14 + 2. El número 11 tiene resto 1, ya que 11 = 5 x 2 + 1. Y el 108 tiene resto 3, ya que 108 = 5 x 21 + 3. Y es fácil convencerse de que los posibles restos son 0, 1, 2, 3 y 4. Justamente, en el problema que figura más arriba, ese resto es el que identifica el palo de la carta elegida. Sin este dato, uno podría deducir el número, pero no sabría de qué palo es. O al revés. Si uno sólo supiera el resto que se obtiene al dividir el número por 5, y no tuviera ninguna otra información, sabría el palo de la carta, pero no el número. La combinación de ambos datos permite resolver el problema. Por supuesto, el mago conoce todo esto, que resulta invisible para la persona que hace de interlocutor: usted y yo.

http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-159920-2011-01-06.html

Trabajo final del taller "Matemática e imaginación"

"A continuación, deberán investigar sobre alguna aplicación en la que la matemática sea la disciplina de aplicación o la que permita resolver el problema planteado. La elección del tema es libre pero, deberemos acordar entre todos los grupos que no haya repetición de contenidos; de manera tal de tener así ¡6 trabajos / aplicaciones diferentes!"
Esta fue la consigna para finalizar el taller "Matemática e imaginación".
¿La cumplieron? Sólo unos pocos... cabe hacer una reflexión sobre el uso equivocado de la información... ¿A qué me refiero? Al hecho de que algunos alumnos "copian" fragmentos de sitios web sin siquiera procesarlos... y el resultado de los trabajos es una recopilación de información bajada textualmente a un archivo DOC. Con el agravante de no citar la fuente del material consultado.
A pesar de ello, los temas "resumidos" han sido de interés.
Cabe destacar el trabajo realizado por el grupo que investigó sobre "La matemática en el bajo". Un trabajo de investigación, escrito con lenguaje claro y acompañado de imágenes para ilutrar el texto. ¡Bravo para ese grupo!

Trabajos realizados

TP-Grupo 6.pdf
http://docs.google.com/fileview?id=0B0mJAfLp978-N2ViZWQ2NDAtYTIwNi00Yjg3LWJhZTAtMTYzYmJmYmY4MDNk&hl=en

TP-Grupo 5.pdf
http://docs.google.com/fileview?id=0B0mJAfLp978-ZjM1NTdkZWQtOGVmMy00YzM5LTk3MjYtNGJkOTQ5M2MzNDli&hl=en

TP-Grupo4.pdf
http://docs.google.com/fileview?id=0B0mJAfLp978-NTljMGJiZmUtMTE1Mi00ZTA4LTg4YzQtODM5MmEzMTA5MWI2&hl=en

TP-Grupo3.pdf
http://docs.google.com/fileview?id=0B0mJAfLp978-ZjcwMmVmNmItMzUxNi00NGQ2LWJmZmUtYjJhNTkyNWNjMTZm&hl=en

TP-Grupo 2.pdf
http://docs.google.com/fileview?id=0B0mJAfLp978-NDY1YTJjMmEtYzAzOS00MjU5LThiMjItYTc0NTc0MDEwNzBi&hl=en

TP-Grupo 1.pdf
http://docs.google.com/fileview?id=0B0mJAfLp978-ODYxZWZiYTUtMGExOS00YzZhLWE4ZDEtNDc5Y2QzYTIzYjRi&hl=en